Ποιες ήταν οι πιθανότητες;

Όταν 433 παίκτες κέρδισαν το ίδιο τζακπότ στις Φιλιππίνες, οι υποψίες φούντωσαν. Πόσο πιθανό ήταν; Τα μαθηματικά και η Μπεϋζιανή* στατιστική δίνουν απαντήσεις.

[ *Μπεϋζιανή είναι στατιστική η οποία βασίζεται στο θεώρημα Bayes και επιτρέπει την αναθεώρηση της αρχικής πιθανότητας ανάλογα με τα παρατηρηθέντα δεδομένα. Κατά την μπεϋζιανή στατιστική, το αντικείμενο της στατιστικής είναι η ανάπτυξη μεθόδων παραγωγής και διαχείρισης δεδομένων κατά τρόπο ενιαίο, επαγωγικό και μαθηματικά συνεπή ]

Την 1η Οκτωβρίου 2022, μια κλήρωση λοταρίας στις Φιλιππίνες προκάλεσε αίσθηση παγκοσμίως. Συνολικά 433 παίκτες μοιράστηκαν το τζακπότ, έχοντας επιλέξει ακριβώς τους ίδιους έξι αριθμούς. Το ακόμη πιο εντυπωσιακό στοιχείο ήταν το ίδιο το αποτέλεσμα της κλήρωσης.

Οι νικητήριοι αριθμοί ήταν: 9, 18, 27, 36, 45 και 54. Όλοι τους πολλαπλάσια του 9. Η σύμπτωση αυτή πυροδότησε υποψίες για πιθανή χειραγώγηση και άνοιξε μια ευρύτερη συζήτηση για το αν -και πώς- τα μαθηματικά μπορούν να αποκαλύψουν απάτη στα τυχερά παιχνίδια.

Ποιες ήταν οι πιθανότητες;

Στο συγκεκριμένο τυχερό παιχνίδι, έξι αριθμοί κληρώνονται τυχαία από το 1 έως το 55, χωρίς επαναλήψεις. Ο συνολικός αριθμός πιθανών συνδυασμών είναι περίπου 29 εκατομμύρια. Αυτό σημαίνει ότι η πιθανότητα να εμφανιστεί ένας συγκεκριμένος συνδυασμός -όποιος κι αν είναι- είναι περίπου 1 στα 29.000.000.

Με αυστηρά μαθηματικούς όρους, λοιπόν, το να εμφανιστούν τα συγκεκριμένα έξι πολλαπλάσια του 9 δεν είναι λιγότερο πιθανό από οποιονδήποτε άλλο συνδυασμό. Κάθε αποτέλεσμα έχει την ίδια πιθανότητα πριν από την κλήρωση.

Πότε μπαίνει στο παιχνίδι η υποψία απάτης

Το πραγματικό ερώτημα δεν είναι αν το αποτέλεσμα ήταν «σπάνιο», αλλά αν είναι πιο πιθανό να προκύψει σε μια στημένη κλήρωση παρά σε μια δίκαιη. Εδώ ακριβώς παρεμβαίνει η Μπεϋζιανή στατιστική, την οποία ανέλυσε ο διάσημος μαθηματικός και κάτοχος του Μεταλλίου Fields, Terence Tao.

Η ανάλυση ξεκινά με δύο βασικές υποθέσεις:

Μηδενική υπόθεση: η κλήρωση ήταν απολύτως δίκαιη.
Εναλλακτική υπόθεση: η κλήρωση χειραγωγήθηκε με κάποιον τρόπο.
Για να αποδειχθεί στατιστικά ύποπτο ένα αποτέλεσμα, η εναλλακτική υπόθεση πρέπει να έχει σημαντικά μεγαλύτερη πιθανότητα να παράγει το συγκεκριμένο γεγονός από ό,τι η μηδενική.

Στημένη κλήρωση ή μήπως όχι;

Αν υποθέσουμε ότι μια κλήρωση «στήνεται» απλώς επιλέγοντας τυχαίους αριθμούς εκ των προτέρων, τότε οι πιθανότητες παραμένουν ίδιες. Σε αυτό το σενάριο, το ύποπτο αποτέλεσμα δεν ενισχύει την υπόθεση απάτης.

Αντίθετα, αν θεωρήσουμε ότι όσοι χειραγωγούν μια κλήρωση θα απέφευγαν έναν τόσο εμφανή και «ύποπτο» συνδυασμό, τότε η πιθανότητα να εμφανιστεί ένα τέτοιο μοτίβο σε στημένο παιχνίδι μειώνεται – γεγονός που τελικά λειτουργεί υπέρ της εκδοχής ότι η κλήρωση ήταν κανονική.

Η θεωρία της χαλασμένης μηχανής

Ένα άλλο σενάριο είναι η τεχνική δυσλειτουργία: μια μηχανή που δεν ανακάτευε σωστά τους αριθμούς και παρήγαγε μοτίβα. Ωστόσο, αυτή η υπόθεση απορρίφθηκε γρήγορα.

Στην αμέσως επόμενη κλήρωση, στις 3 Οκτωβρίου 2022, οι αριθμοί ήταν 8, 10, 12, 14, 26 και 51, χωρίς εμφανές μοτίβο. Η κανονικότητα της επόμενης κλήρωσης μείωσε δραστικά την πιθανότητα τεχνικού προβλήματος.

Γιατί τόσοι πολλοί παίκτες επέλεξαν τους ίδιους αριθμούς;

Το πιο πειστικό επιχείρημα δεν αφορά την κλήρωση, αλλά τους παίκτες. Όπως επισημαίνει ο Terence Tao, πολλοί άνθρωποι τείνουν να επιλέγουν αριθμούς με απλά και συμμετρικά μοτίβα.

Στο συγκεκριμένο λαχείο, οι αριθμοί 9, 18, 27, 36, 45 και 54 εμφανίζονται σε διαγώνια διάταξη στο δελτίο συμμετοχής. Αυτό το γεωμετρικό μοτίβο φαίνεται ότι οδήγησε εκατοντάδες παίκτες στην ίδια επιλογή.

Τι μας διδάσκει αυτή η υπόθεση

Η υπόθεση των Φιλιππίνων δείχνει ότι:

Ένα εντυπωσιακό αποτέλεσμα δεν ισοδυναμεί απαραίτητα με απάτη.
Τα μαθηματικά μπορούν να ελέγξουν υποψίες, αλλά όχι να αντικαταστήσουν τα πραγματικά στοιχεία.
Η ανθρώπινη συμπεριφορά παίζει καθοριστικό ρόλο στα τυχερά παιχνίδια.

Όπως καταλήγει και ο Tao, για να είναι μια υπόθεση απάτης στατιστικά πειστική, πρέπει να είναι εύλογη, να εξηγεί καλύτερα το γεγονός από την τύχη και να συμφωνεί με όσα ακολουθούν…